quanta_Andreas_Floer_1976.jpg

Matematikawan Melampaui Teori Gerak Geometris

“[Floer] teori homologi hanya bergantung pada topologi manifold Anda. [This] adalah wawasan luar biasa Floer,” kata Agustin Moreno dari Institut Studi Lanjutan.

Pembagian dengan Nol

Teori Floer akhirnya menjadi sangat berguna di banyak bidang geometri dan topologi, termasuk simetri cermin dan studi tentang knot.

“Ini adalah alat utama dalam subjek ini,” kata Manolescu.

Namun teori Floer tidak sepenuhnya menyelesaikan dugaan Arnold karena metode Floer hanya bekerja pada satu jenis manifold. Selama dua dekade berikutnya, ahli geometri symplectic terlibat dalam upaya komunitas besar-besaran untuk mengatasi hambatan ini. Akhirnya, pekerjaan itu menghasilkan bukti dugaan Arnold di mana homologi dihitung menggunakan bilangan rasional. Tapi itu tidak menyelesaikan dugaan Arnold ketika lubang dihitung menggunakan sistem bilangan lain, seperti bilangan siklis.

Alasan pekerjaan ini tidak meluas ke sistem bilangan siklis adalah karena pembuktiannya melibatkan pembagian dengan jumlah simetri objek tertentu. Ini selalu mungkin dengan bilangan rasional. Tetapi dengan nomor siklus, pembagian lebih rumit. Jika sistem bilangan berputar kembali setelah lima—menghitung 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4—maka angka 5 dan 10 keduanya setara dengan nol. (Ini mirip dengan cara 13:00 sama dengan 1 siang.) Akibatnya, membagi dengan 5 dalam pengaturan ini sama dengan membagi dengan nol—sesuatu yang dilarang dalam matematika. Jelas bahwa seseorang harus mengembangkan alat baru untuk menghindari masalah ini.

“Jika seseorang bertanya kepada saya apa hal teknis yang mencegah teori Floer berkembang, hal pertama yang terlintas dalam pikiran adalah fakta bahwa kita harus memperkenalkan penyebut ini,” kata Abouzaid.

Untuk memperluas teori Floer dan membuktikan dugaan Arnold dengan bilangan siklis, Abouzaid dan Blumberg perlu melihat melampaui homologi.

BACA JUGA :  Apple iOS 16 dan iPadOS 16: Fitur Baru, Perangkat yang Didukung, Tanggal Rilis

Mendaki Menara Topolog

Matematikawan sering menganggap homologi sebagai hasil penerapan resep tertentu pada suatu bentuk. Selama abad ke-20, para topologi mulai melihat homologi dengan istilahnya sendiri, terlepas dari proses yang digunakan untuk membuatnya.

Pada 1980-an, Andreas Floer mengembangkan cara baru yang radikal untuk menghitung lubang dalam bentuk topologi.

“Jangan pikirkan resepnya. Mari kita pikirkan apa yang keluar dari resepnya. Struktur apa, sifat apa yang dimiliki kelompok homologi ini?” kata Abouzaid.

Topolog mencari teori lain yang memenuhi sifat dasar yang sama dengan homologi. Ini dikenal sebagai teori homologi umum. Dengan homologi sebagai dasarnya, topologi membangun menara teori homologi umum yang semakin rumit, yang semuanya dapat digunakan untuk mengklasifikasikan ruang.

Homologi Floer mencerminkan teori homologi lantai dasar. Tetapi para ahli geometri simpletik telah lama bertanya-tanya apakah mungkin untuk mengembangkan versi Floer dari teori topologi lebih tinggi di atas menara: teori yang menghubungkan homologi umum dengan fitur khusus ruang dalam pengaturan dimensi tak terbatas, seperti yang dilakukan teori asli Floer.

Floer tidak pernah memiliki kesempatan untuk mencoba pekerjaan ini sendiri, meninggal pada tahun 1991 pada usia 34 tahun. Tetapi matematikawan terus mencari cara untuk mengembangkan ide-idenya.

Membandingkan Teori Baru

Sekarang, setelah hampir lima tahun bekerja, Abouzaid dan Blumberg telah mewujudkan visi ini. Makalah baru mereka mengembangkan versi Floer dari Morava K-teori yang kemudian mereka gunakan untuk membuktikan dugaan Arnold untuk sistem bilangan siklis.

“Ada perasaan di mana ini melengkapi lingkaran bagi kami yang mengikat sepanjang perjalanan kembali ke karya asli Floer,” kata Keating.

About admin

Image Name

Check Also

Pengumuman Terbesar Summer Game Fest? Sebuah Remake ‘Last of Us’

Terakhir dari Kami Bagian 1 datang. Lagi. Naughty Dog copresident Neil Druckmann mengumumkan berita tersebut …

Share this Page

PopUp Share can help you to share the page when the user wants to leave the page